Mamy dwie uny. W pierwszej znajduję się 20 kul czarnych i 30 białych. W drugiej 10 kul czarnych i 20 białych. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 5 kul białych i 5 kul czarnych, jeśli losujemy po tyle samo kul z każdej urny? Losujemy bez zwracania.

Niech n oznacza liczbę wylosowanych czarnych kul z pierwszej urny, 0\leq n\leq5 Warunki zadania będą spełnione, gdy z pierwszej urny wylosujemy n czarnych i n-5 białych, a z drugiej n-5 czarnych i n białych. Oznaczmy przez p_n prawdopodobieństwo wylosowania n czarnych (i n-5 białych) kul z pierwszej urny, a q_n prawdopodobieństwo wylosowania n-5 czarnych (i n białych) kul z drugiej urny. Wtedy p_n=\frac{{20\choose n}\cdot{30\choose n-5}} {{50\choose 5}} \qquad a \qquad q_n=\frac{{10\choose 5-n}\cdot{20\choose n}} {{30\choose 5}} Prawdopodobieństwo, o którym mowa w zadaniu policzymy jako p=\sum_{n=0}^5 p_nq_n Wykonanie tych obliczeń najlepiej wykonać korzystając z arkusza kalkulacyjnego lub programowalnego kalkulatora. Po wykonaniu obliczeń otrzymujemy p=\frac{4387341919}{25161334380}\simeq 0,17