Dany jest układ równań z niewiadomymi x i y: (2a-1)x-3y=4 ; ax+4y=b wykaż że jeśli ten układ jest nieoznaczony to 11a+3b+12=0

Rozważmy dany układ równań:

(2a-1)x - 3y = 4 (1)

ax + 4y = b (2)

Aby układ ten był nieoznaczony, muszą zachodzić dwa warunki:

Zatem, jeśli równania są liniowo zależne, to istnieją takie liczby k i l, że:

k(2a-1)x - 3ky = 4k (3)

lx + 4ly = b (4)

Warto zauważyć, że mnożąc równanie (1) przez 4 oraz dodając je do równania (2) otrzymujemy:

(2a-1)x - 3y = 4 (1)

8ax + 16y = 4b (5)

Następnie mnożąc równanie (1) przez 8 oraz dodając je do równania (5) otrzymujemy:

(2a-1)x - 3y = 4 (1)

(16a-8)x + 0y = 4b + 32 (6)

Jeśli układ jest nieoznaczony, to równania (1) i (6) są liniowo zależne i zachodzi:

k(2a-1)x - 3ky = 4k (3)

l(16a-8)x = 4lb + 32l (7)

Możemy teraz podzielić równanie (7) przez 8, otrzymując:

l(2a-1)x = lb + 4l (8)

Ostatecznie, korzystając z warunku (2) dla układu równań i podstawiając (2a-1)x = 3y+4 z równania (1), otrzymujemy:

l(3y + 4) = lb + 4l (9)

Jeśli układ jest nieoznaczony, to równanie (9) musi być spełnione dla każdej wartości y. Oznacza to, że lewa strona równania (9) musi być równa stałej, a zatem:

l * 3 + 4l = 0

Co daje:

11l = 0

A zatem:

11a + 3b + 12 = 0, co kończy dowód.