W trójkącie prostokątnym długości boków tworzą ciąg geometryczny. Oblicz długości boków, jeżeli średni bok ma długość 1.

W związku z własnością ciągów geometrycznych: a2=a1*a3 (gdzie a1,a2,a3 kolejne długości boków) Wiemy, że a2=1: czyli a1*a3=1 Z własności trójkąta prostokątnego c^2=a^2+b^2 Przypadek1 (a1 jako przeciwprostokątna): a1^2 = a2^2 + a3^2 (podstawiamy wiadome) a1^2 = 1 + (1/a1)^2 a1^2 = 1 + 1/(a1^2) (mnozymy obie strony przez a1^2) a1^4 = a1^2 + 1 (porządkujemy równanie) a1^4 - a1^2 -1 = 0 (podstawiamy t=a1^2 dla uproszczenia)(a1>0 to t>0) t^2 - t - 1 = 0 delta = b2 - 4ac delta = (-1)^2 -4 * 1 * (-1) delta = 5 pierwiastek z delty = pierwiastek z 5 t1= (1 - pierwiastekz5) /2 (odpada bo dlugosc boku dodatnia) t2= (1 + pierwiastekz5) /2 cofamy podstawienie: a1^2 = (1 + pierwiastekz5) /2 wyciągamy pierwiastek z obu stron zakladajac ze obie dodatnie a1 = pierwiastek kwadratowy z ((1+pierwiastek kwadratowy z 5)/2) a3=1/a1 (tak obliczmy a3) a2 był znany i równy "1"

Przypadek drugi zakłada, że przeciwprostokątna to a3, więc powoduje to tylko zmianę w nazewnictwie boków, lecz nie ma wpływu na ich długość (obecne a1 stanie sie a3, a3 stanie sie a1 co do długości)